250062 VU Mathematische Modellierung (2023S)

Diese Wahl-Pflicht- Lehrveranstaltung vermittelt mathematische Modelle und Einblick in die dabei benötigte "Höhere Mathematik" (Differentialgleichungen, diskrete Mathematik, Stochastik,...), ohne diese vorauszusetzen. Sie ist daher prinzipiell ab dem 2. Semester verständlich.

Die primären Modelle der Mathematik sind in der Physik - in der Tat waren Mathematik und Physik jahrhundertelang eine Einheit, und jedes "Mathematik curriculum" sollte elementare Physik enthalten.

Ein moderner Aspekt ist "numerische Modellierung", die in fast allen Anwendungen gemacht wird und wo die beiden Begriffe "Modellgleichung" und "numerische Lösung" vermischt werden, die mathematisch streng betrachtet getrennt sind. Weiters werden die Grundideen von "statistical models" und "Machine learning models" präsentiert.

Es werden regelmässig Beispiele zum Stoff ausgeteilt, die selbst erarbeitet und präsentiert werden.

Am Ende steht ein "Team-Projekt", wo 3-4 Studierende kooperativ ein Modell ausarbeiten und gemeinsam präsentieren.

A) Mathematische Modellierung in der Physik:
1) Formel -> Funktion -> (Differential)gleichung.
2) grundlegende Modelle:
2a) Teilchen-Mechanik, Impuls/erhaltung, Energie/erhaltung,
Bewegungsgleichungen: Teaser auf gewöhnliche Differentialgleichungen,
Gravitationskraft, Elektrostatik: Newton'sches Potential
2b) Kontinuums-mechanik: Teaser auf partielle Differentialgleichungen
2c) Schwingungsgleichung, Einführung Fourierentwicklungen,
Wellengleichung

3) Modellhierarchien:
3a) Skalierung von Modellgleichungen, dimensionslose (kleine) Parameter
3b) Paradebeispiel: "der senkrechte sehr hohe Wurf"
3c) reduzierte Gleichung und Störungstheorie:
reguläre Störungen - "asymptotische Entwicklungen";
singuläre Störungen
3d) Störungen der Schwingungsgleichung

4) Team projekt (3-4 Studierende gemeinsam):
Ausarbeitung und Präsentation einer Modellierung samt Ausblick auf die
benötigte (höhere) Mathematik, numerische Lösung und Simulation