250014 VO Mathematische Modellierung (2024S)

Mathematische Modelle im weiteren Sinn werden in allen Wissenschaften verwendet. Wir präsentieren einige grundlegende Konzepte mit ihren Stärken und Grenzen. Diese Lehrveranstaltung ist nicht nur für Bachelor Mathematik, sondern auch Studierende aller Bachelor und Master in MINT und Digital Sciences geeignet, die sich für mathematische Konzepte interessieren und Grundlagen von Analysis kennen.

Die primären Modelle der Mathematik sind in der Physik, wo die Vorlesung eine auf MathematikerInnen zugeschnittene Einführung bietet. Begriffe wie „Energie“, die in vielen Bereichen verwendet werden, können nur mit mathematischen „Formeln“ sauber modelliert werden.
Dabei sind (partielle) Differentialgleichungen eine wichtige Klasse von Modellgleichungen, vom 2. Newton’schen Gesetz über Schwingungs- und Wellengleichungen bis zur Hydrodynamik mit Navier-Stokes Gleichungen, wobei seriöse Modellierung auch Konzepte wie „schwache Lösungen“ benötigt.
Weiters behandeln wir Modelle in der Biologie, insbesondere Populationsdynamik.
„Numerische Modellierung" wird in fast allen Anwendungen gemacht, wo die beiden Begriffe "Modellgleichung" und "numerische Lösung" vermischt werden, die mathematisch streng betrachtet getrennt sind. Weiters werden die Grundideen von "Statistischer Modellierung" und "Machine learning" präsentiert.

Skriptum der Vortragenden wird jeweils VOR der Vorlesung an die Studierenden gesandt (per e-mail, doodle) und als Papierkopie ausgeteilt,
dazu ergänzende Skripten.

In den parallelen „Übungen“ (ProSeminar genannt) werden Beispiele zum Stoff selbst erarbeitet und präsentiert, dazu am Ende ein "Team-Projekt", wo 3-4 Studierende kooperativ ein Modell ausarbeiten und gemeinsam präsentieren.

A) Mathematische Modellierung in der Physik:
0) Formel -> Funktion -> (Differential)gleichung.
1) grundlegende Modelle:
1a) Teilchen-Mechanik, (Dreh)Impuls/erhaltung, Energie/erhaltung,
Bewegungsgleichungen: gewöhnliche Differentialgleichungen,
Gravitationskraft, Elektrostatik: Newton'sches Potential
1b) Kontinuums-Mechanik: partielle Differentialgleichungen
1c) Schwingungsgleichung, Einführung Fourierentwicklungen,
Wellengleichung

2) Modellhierarchien:
2a) Skalierung von Modellgleichungen, dimensionslose (kleine) Parameter
2b) Paradebeispiel: "der senkrechte sehr hohe Wurf"
2c) reduzierte Gleichung und Störungstheorie:
reguläre Störungen - "asymptotische Entwicklungen";
singuläre Störungen – „Grenzschichten“
2d) Störungen der Schwingungsgleichung
2e) Mathematische Modelle für Wetter / Klima

B) Modelle in Biologie/Medizin und Sozialwissenschaften
3a) Wachstums-Modelle diskret/kontinuierlich
Iterationen, Fibonacci-Folgen,…
Grundideen von Dynamische Systemen, „Stabilität“,…
3b) Räuber-Beute Modelle, Lotka-Volterra Gleichungen
3c) Epidemie-Modelle, SIR-X Modelle
3d) Modellierung von Verkehrsfluss, Burgers Gleichung
3e) Mean Field Models für „Tier/Menschenströme“

C) Modellierung in den Anwendungen
4a) numerische Modellierung
4b) stochastische/statistische Modellierung
4c) „Modellierung“ mit Machine learning